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Come risolvere il problema della geometria, nella condizione in cuiSono solo il perimetro e gli angoli? Naturalmente, se stiamo parlando di un triangolo ad angolo acuto o di un poligono, allora un tale problema senza conoscere la lunghezza di uno dei lati non può essere risolto. Tuttavia, se si tratta di un triangolo rettangolare o di un rettangolo, puoi trovarne i lati dal perimetro indicato. Il rettangolo ha lunghezza e larghezza. Se si disegna una diagonale di un rettangolo, è possibiletrova che divide il rettangolo in due triangoli rettangolari. La diagonale è un'ipotenusa e la lunghezza e la larghezza sono le gambe di questi triangoli. In un quadrato che è un caso particolare di un rettangolo, la diagonale è l'ipotenusa di un triangolo isoscele rettangolare.

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Supponiamo che ci sia un rettangolotriangolo con lati a, bec, per i quali uno degli angoli è uguale a 30, e il secondo è 60. La figura mostra che a = c * sin? e b = c * cos?. Sapendo che il perimetro di qualsiasi figura, incluso il triangolo, è uguale alla somma di tutti i suoi lati, otteniamo: a + b + c = c * sin? + C * cos + c = pIz questa espressione si può trovare il lato sconosciuto c, che è l'ipotenusa per un triangolo. Quindi come va l'angolo? = 30, dopo la trasformazione otteniamo: c * sin? + C * cos? + C = c / 2 + c * sqrt (3) / 2 + c = p Segue che c = 2p / [3 + sqrt (3)] Corrispondentemente, a = c * sin? = P / [3 + sqrt (3)], b = c * cos? = P * sqrt (3) / [3 + sqrt (3)]

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Come accennato in precedenza, la diagonale del rettangolo la divide in due triangoli rettangolari con angoli di 30 e 60 gradi. Poiché il perimetro del rettangolo è p = 2 (a + b), larghezza a e lunghezza b del rettangolo può essere trovato, a partire dal fatto chediagonale è l'ipotenusa dei triangoli rettangolari: a = p-2b / 2 = p [3- sqrt (3)] / 2 [3 + sqrt (3)] b = p-2a / 2 = p [1 + sqrt (3)] / 2 [3+ sqrt (3)] Queste due equazioni sono espresse in termini di perimetro del rettangolo. Calcolano la lunghezza e la larghezza di questo rettangolo, tenendo conto degli angoli risultanti durante l'esecuzione della sua diagonale.

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Utilizzare per trovare l'area del triangolouna delle formule che utilizza le funzioni trigonometriche, se sono noti i valori di uno o più angoli nel triangolo. Ad esempio, per un valore noto dell'angolo (α) e delle lunghezze dei lati che lo compongono (B e C), l'area (S) può essere determinata dalla formula S = B * C * sin (α) / 2. E con i valori noti di tutti gli angoli (α, β e γ) e la lunghezza di un lato in aggiunta (A), possiamo usare la formula S = A2 * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (α)). Se, oltre a tutti gli angoli, è noto il raggio (R) del cerchio circoscritto, utilizzare la formula S = 2 * R² * sin (α) * sin (β) * sin (γ).

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Se gli angoli non sono noti, allora pertrovando l'area di un triangolo, puoi usare le formule senza funzioni trigonometriche. Ad esempio, se l'altezza (H) è nota, disegnata da un lato di cui è anche nota la lunghezza (A), utilizzare la formula S = A * H / 2. E se le lunghezze di ciascun lato sono date (A, B e C), allora prima trova il semiperimetro p = (A + B + C) / 2, quindi calcola l'area del triangolo usando la formula S = √ (p * (p -A) * (p-B) * (p-C)). Se oltre alle lunghezze dei lati (A, B e C), il raggio (R) del cerchio circoscritto è noto, utilizzare la formula S = A * B * C / (4 * R).

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Per trovare l'area di un rettangolo, puoi ancheusa le funzioni trigonometriche - per esempio, se conosci la lunghezza della sua diagonale (C) e la grandezza dell'angolo che essa produce con un lato (α). In questo caso, utilizzare la formula S = C² * sin (α) * cos (α). E se conosci le lunghezze delle diagonali (C) e l'angolo che fanno (α), allora usa la formula S = C² * sin (α) / 2.

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Senza funzioni trigonometriche nel trovarearea del rettangolo può essere eliminata, se si conosce la lunghezza dei suoi lati perpendicolari (A e B) - può applicare la formula S = A * B. Se perimetro dato lunghezza (P) e un lato (A), quindi utilizzare la formula S = A * (P-2 * A) / 2.

Avrete bisogno

• - calcolatrice;
• - Un foglio di carta e una matita.

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Ricorda cosa sono dividendo, divisore e quoziente. Il primo termine indica un numero che è divisibile per un altro. Il numero che divide è chiamato il divisore e il risultato è chiamato il quoziente. In un certo numero di esempi, c'è ancora un residuo. Si forma se il dividendo non è un multiplo del divisore, ma non è necessario eseguire azioni con frazioni semplici o decimali.

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Etichetta il dividendo sconosciuto come x. I dati conosciuti dovrebbero essere scritti sia con numeri che con caratteri alfabetici. Ad esempio, un'attività potrebbe assomigliare a questa: x: a = b. In questo caso, a e b possono essere qualsiasi numero, sia intero che frazionario. Privato come un intero significa che la divisione viene eseguita senza resto. Per trovare un dividendo, moltiplica il quoziente per il divisore. La formula sarà simile a questa: x = a * b.

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Se il divisore o il quoziente non è un numero intero,ricorda le singolarità del moltiplicare le frazioni semplici e decimali. Nel primo caso, numeratori e denominatori sono moltiplicati. Se un numero è un numero intero e l'altro è una frazione semplice, il numeratore del secondo viene moltiplicato per il primo. I decimali vengono moltiplicati esattamente allo stesso modo degli interi, ma viene sommato il numero di cifre a destra della virgola, tenendo conto dello zero finale.

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Puoi incontrare e un esempio, quando un privatoscritto con un numero intero, ma con un resto. La formula appare così: x: a = b (aust.c). Ricorda cos'è un residuo e come si forma. Ad esempio, è necessario 15 diviso per 4. È possibile ottenere due risultati. Nel primo caso, nel caso privato, otteniamo 3 ¾ o 3,75. Nel secondo esempio appare così: 15: 4 = 3 (ost.3). Diciamo che non conosci il dividendo, e l'esempio sembra x: 4 = 3 (sinistra 3). Primo, non prestare attenzione al resto. Moltiplicare il quoziente per il divisore, come nel primo caso. In questo caso, otterrai 3 * 4 = 12. Aggiungi il resto 3: 12 + 3 = 15 al risultato.

Avrete bisogno

• - un rettangolo;
• - righello;
• - una matita;
• - forbici.

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Un rettangolo è una figura geometrica, in cui tutti e quattro gli angoli sono diritti e le coppie di lati sono parallele l'una all'altra. Lati opposti rettangolo lungo la lunghezza tra loro stessi sono gli stessi, e tra le coppie - diversi. Il quadrato differisce dalla figura precedente solo in quanto ha tutti e quattro i lati uguali.

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Per fare piazza dalla rettangolo, puoi usare un righello e una matita. Ad esempio, le parti rettangolo sono pari a 30 cm (lunghezza) e 20 cm (larghezza). poi piazza avrà lati con un valore inferiore, cioè 20 cm. Misura sul lato lungo superiore rettangolo 20 cm Eseguire la stessa azione, ma solo con la parte inferiore. Connetti i punti risultanti usando il righello. Se necessario, tagliare l'eccesso, risultante in piazza con i lati 20 cm.

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fare piazza dalla rettangolo anche se non ci sonodisegno di accessori. Metti un rettangolo di fronte a te e piega uno dei suoi angoli retti (questo può essere qualsiasi angolo) rigorosamente a metà. Se metti la forma risultante sul lato lungo, allora ci sarà un trapezio rettangolare, formato visivamente da un triangolo e un altro rettangolo. Piega il rettangolo risultante su un triangolo(quest'ultimo sarà doppio a causa della carta piegata), liscio con le dita e tagliato o strappato delicatamente. Espandi la carta, che rappresenterà se stessa piazza. Dal piccolo rimanente rettangolo puoi ottenere piazza, solo una dimensione più piccola. I metodi sono autorizzati a utilizzare gli stessi.

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Un rettangolo potrebbe essere leggermente diversodimensioni, ad esempio, 40x20 cm, ovvero la lunghezza è esattamente 2 volte la larghezza. In questo caso, prendi un righello e misura sul lato lungo 20 cm (in alto e in basso), collega i punti ottenuti e dividi a metà. Ci saranno due identici piazzaa. Se è noto in modo affidabile che in un rettangolo solo un rapporto di lunghezza e larghezza (2: 1), piegare semplicemente la figura geometrica due volte e quindi tagliarla. A proposito, per assicurarti che il rapporto sia veramente 2: 1 senza un righello, per questo qualsiasi angolo rettangolo piegare a metà. Quindi eseguire la stessa azione, ma solo sull'altro lato (simmetrico al primo angolo). Se, come risultato di tutte queste manipolazioni, risulta un triangolo rettangolare, il rapporto tra i lati è in realtà 2: 1.

Avrete bisogno

• -lineyka;
• - una matita;
• -kalkulyator.

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Un rettangolo è un quadrilatero di cuitutti gli angoli sono uguali a 90 gradi. Le sue dimensioni sono determinate dalla lunghezza dei lati. Esso ha diverse proprietà: - lati opposti sono uguali e paralleli a - diagonali sono uguali e bisecano il punto di intersezione, - può essere diviso in due uguali triangolo rettangolo, rettangolo -vokrug può descrivere un cerchio, il suo diametro è uguale alla lunghezza della sua diagonale.

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L'area del rettangolo èil prodotto di partiti appartenenti ad un angolo. Denotato lettera latina S. Se c'è un rettangolo, in cui una - lunghezza e B - la larghezza dell'area di formula ha la forma: S = a × b. Questa è la formula più comune ed elementare.

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È possibile trovare l'area se si dispone di dati su di essoperimetro Il perimetro di un rettangolo è uguale alla somma dei suoi lati moltiplicato per due: P = (a + b) × 2. Se nel problema è noto e su un lato, dovremmo usare la seguente formula: S = a × ((P-2a) / 2)

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Puoi anche usare il calcolo dell'areatriangolo rettangolo. È uguale al prodotto di metà delle sue gambe. L'ipotenusa sarà una diagonale di un rettangolo e le gambe saranno i lati. Per trovare la sua area, è necessario moltiplicare il valore ottenuto per due. Questa opzione è adatta a coloro che sanno come trovare l'area del triangolo.

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Per trovare l'area può essere coinvolto efunzioni trigonometriche. La diagonale può essere trovata dalla formula: d = √ (a2 + b2). Gli angoli tra le diagonali sono i seguenti: α = 2arctg (a / b), β = 2arctg (b / a), α + β = 180 °. Se la lunghezza delle diagonali e l'angolo tra di esse è noto, l'area è data dalla formula: S = d2 • sin (α / 2) • cos (α / 2).

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Se il rettangolo è inscritto in un cerchio, la sua diagonale sarà uguale al raggio di questo cerchio. E l'area può essere trovata come segue: S = a × √ (R ^ 2-a ^ 2).

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Un quadrilatero in cui tutti i lati sono uguali è chiamato quadrato. La sua area è uguale alla lunghezza dei suoi lati nel quadrato. Puoi anche trovarlo come il quadrato della sua diagonale diviso per due.

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Il modo più semplice per calcolare l'area rettangolo (S) se le condizioni iniziali forniscono informazioni sulla lunghezza (H) e la larghezza (W) della figura. Con questo set di parametri, è sufficiente moltiplicarli: S = W * H.

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Un po 'più difficile è il calcolo dell'area (S)Questa cifra, se è nota la lunghezza di solo uno dei suoi lati (W), nonché qualsiasi diagonale (D). Per definizione, entrambe le diagonali del rettangolo sono uguali, quindi per calcolare l'area, considera un triangolo composto da un lato di una lunghezza nota e una diagonale. Questo è un triangolo rettangolo in cui la diagonale è l'ipotenusa, e il lato è la gamba. Utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza del lato mancante e ridurre la formula a quella descritta nel primo passaggio. Dal teorema risulta che la lunghezza della gamba sconosciuta dovrebbe essere uguale alla radice quadrata della differenza tra le lunghezze quadrate della diagonale e il lato noto. Sostituisci questo valore nella formula dal primo passo invece della lunghezza del rettangolo e ottieni la formula S = W * √ (D²-W²).

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Un caso più complesso è il calcolo dell'areaUn rettangolo dato dalle coordinate dei suoi vertici in uno spazio bidimensionale. La soluzione del problema può essere ridotta alla formula dal primo passaggio - per questo è necessario calcolare le lunghezze di due lati adiacenti della figura. Questo valore per ognuno di essi può essere calcolato considerando i triangoli formati dal lato e le sue proiezioni sull'asse delle ascisse e delle ordinate. Ognuno di questi triangoli sarà rettangolare, il lato stesso sarà la sua ipotenusa e entrambe le proiezioni per le gambe. Utilizzando lo stesso teorema di Pitagora, calcola il valore desiderato per entrambi i lati.

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Supponi di avere due lati di un rettangoloun punto comune (cioè la sua lunghezza e larghezza) sono date le coordinate di tre punti A (Xl, Y₁), B (X₂, Y₂) e C (X₃, Y₃). Il quarto punto non può essere considerato - le sue coordinate non influenzano l'area della figura. La lunghezza della proiezione del lato AB sull'asse delle ascisse sarà uguale alla differenza delle coordinate corrispondenti di questi punti (X₂-X₁). Analogamente, viene determinata la lunghezza della proiezione sull'asse delle ordinate: Y₂-Y₁. Così la lunghezza della mano, secondo il teorema di Pitagora può essere trovata, come la radice quadrata della somma dei quadrati di queste quantità: √ ((X₂-Xl) ² + (Y₂-Y₁) ²). Crea la stessa formula per il lato BC: √ ((X₃-X₂) ² + (Y₃-Y₂) ²). Sostituire le espressioni ottenute per la larghezza e l'altezza del rettangolo nella formula del primo gradino: S = √ ((X₂-Xl) ² + (Y₂-Y₁) ²) * √ ((X₃-X₂) ² + (Y₃-Y₂) ²).

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Vale la pena di chiarire cosa si intende quitrovare una radice antiderivata il cui modulo n è un numero g tale che tutte le potenze di questo modulo modulo n sono prese su tutti i numeri relativamente primi a n. Matematicamente, questo può essere espresso come segue: se g è una radice primitiva modulo n, quindi per qualsiasi intero tale che gcd (a, n) = 1, vi è un numero k tale che g ^ k ≡ a (mod n).

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Nel passaggio precedente, era un teoremamostra che se il numero più piccolo k per cui g ^ k ≡ 1 (mod n) è uguale a Φ (n), allora g è una radice primitiva. Quindi è chiaro che k è un esponente di g. Per ogni a, il teorema di Eulero - a ^ (Φ (n)) ≡ 1 (mod n) vale - quindi, per verificare che g sia una radice primitiva, è sufficiente verificare che per tutti i numeri Φ (n) inferiori d, g ^ d ≢ 1 (mod n). Tuttavia, questo algoritmo è piuttosto lento.

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Dal teorema di Lagrange possiamo concludere quellol'esponente di uno qualsiasi dei numeri modulo n è il divisore Φ (n). Questo semplifica il compito. È sufficiente verificare che per tutti i divisori appropriati d | Φ (n), abbiamo g ^ d ≢ 1 (mod n). Questo algoritmo è molto più veloce di quello precedente.

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Factorize il numero Φ (n) = p_1 ^ (a_1) ... p_s ^ (a_s). Dimostrare che nell'algoritmo descritto nel passaggio precedente, come d è sufficiente considerare solo i numeri della seguente forma: Φ (n) / p_i. In effetti, sia d un divisore arbitrario proprio Φ (n). Quindi, ovviamente, c'è un tale che d | Φ (n) / p_j, cioè, d * k = Φ (n) / p_j.

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Ma se g ^ d ≡ 1 (mod n), allora avremmog ^ (Φ (n) / p_j) ≡ g ^ (d * k) ≡ (g ^ d) ^ k ≡ 1 ^ k ≡ 1 (mod n). Cioè, risulta che tra i numeri della forma Φ (n) / p_j ce ne sarebbe uno per cui la condizione non sarebbe soddisfatta, il che, in effetti, doveva essere provato.

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L'algoritmo per trovare la radice antiderivata, comemodo, sarà simile a questo. Il primo è Φ (n), quindi è fattorizzato. Dopo tutti i numeri g = 1 ... n vengono ordinati e per ognuno di essi vengono considerati tutti i valori Φ (n) / p_i (mod n). Se, per il corrente g, tutti questi numeri sono diversi da uno, questo è g ed è la radice primitiva desiderata.

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Se assumiamo che il numero Φ (n) abbia O (log Φ (n)),e l'esponenziazione viene eseguita utilizzando un algoritmo di exponentiation binario, ovvero O (log ⁡n), è possibile scoprire il tempo di esecuzione dell'algoritmo. Ed è anche O (Ans * log ⁡Φ (n) * log⁡n) + t. Qui, t è il tempo di fattorizzazione del numero Φ (n), e Ans è il risultato, cioè il valore della radice primitiva.

Come calcolare l'area di un rettangolo

Calcolo di esempio