Come risolvere serie numeriche
Come risolvere serie numeriche
Dal nome della serie numerica è ovvio che questosequenza di numeri. Questo termine è usato in matematica e analisi complesse in quanto il sistema si avvicina ai numeri. Il concetto di una serie numerica indissolubilmente legata a limitare il concetto e caratteristica principale è la convergenza.
istruzione
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Sia una sequenza numerica del modulo a_1,a_2, A_3, ..., a_n e qualche sequenza S_1, s_2, ..., s_k, dove n e k tendono a ∞, e gli elementi s_j sequenze sono la somma di alcuni membri a_i sequenza. Quindi la sequenza a è una serie numerica, e s è una sequenza delle sue somme parziali: s_j = Σa_i, dove 1 ≤ i ≤ j.
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I problemi di risoluzione delle serie numeriche sono ridotti adefinizione della sua convergenza. Si dice che la serie converge se la sequenza delle sue somme parziali converge e converge assolutamente se la sequenza dei moduli delle sue somme parziali converge. Al contrario, se la sequenza di somme parziali della serie divide, allora si discosta.
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Per dimostrare la convergenza di una sequenza di somme parziali occorre superare la nozione del suo limite, che si chiama la somma della serie: S = lim_n → ∞ Σ_ (i = 1) ^ n a_i.
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Se questo limite esiste ed è finito, allora la serieconverge. Se non esiste o è infinita, poi la serie diverge. C'è un'altra condizione sufficiente ma non necessaria per la convergenza della serie. Questo è un termine generale della serie a_n. Se egli tende a zero: lim A_i = 0 quando mi → ∞, allora la serie converge. Questa condizione è considerata in congiunzione con l'analisi di altre caratteristiche, come non è sufficiente, tuttavia, se il termine generale non tende a zero, allora la serie diverge chiaramente.
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Esempio 1.Determinare la convergenza della serie 1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + n / (2 * n + 1) + ... .Reshenie.Primenite necessario criterio di convergenza - se il termine generale tende a zero: lim a_i = lim n / ( 2 * n + 1) = ½.Itak, a_i ≠ 0, e quindi diverge.
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Esempio 2.Determinare la convergenza della serie 1 + ½ + 1/3 + ... + 1 / + n ... .Reshenie.Stremitsya se termine generale a zero: lim 1 / n = 0. Sì, cerca di eseguire il test necessari per la convergenza, ma questo non è sufficiente. Ora, con il limite ammonta sequenze cercano di dimostrare che diverge: S_n = Σ_ (k = 1) ^ n 1 / k = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1 / n. La sequenza delle somme, anche se molto lentamente, tende ovviamente a ∞, quindi la serie diverge.
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Un segno di convergenza d'Alembert. Supponiamo che ci sia un limite finito per successivi e precedenti membri della serie lim (a_ (n + 1) / a_n) = D. Quindi: D <1 - serie converge; D> 1 - la serie diverge; D = 1 - la soluzione è vaga, è necessario utilizzare un segno aggiuntivo.
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Radicale criterio di convergenza Koshi.Pust formare un limite finito lim √ (n & a_n) = D. Quindi: D <1 - converge; D> 1 - la serie diverge; D = 1 - non c'è una risposta singola.
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Queste due caratteristiche possono essere utilizzate inTuttavia, il segno di Cauchy è più forte. Esiste anche un criterio di Cauchy integrale, secondo il quale per determinare la convergenza della serie è necessario trovare l'integrale definito corrispondente. Se converge, la serie converge e viceversa.
