Come trovare la funzione inversa per un dato
Come trovare la funzione inversa per un dato
Una funzione inversa è una funzione che invertela dipendenza iniziale y = f (x) in modo tale che l'argomento x e la funzione y variano per ruoli. Cioè, x diventa una funzione di y (x = f (y)). In questo caso i grafici delle funzioni reciprocamente inverse y = f (x) e x = f (y) sono simmetriche rispetto all'asse ordinato nel primo e nel terzo quadrato di coordinate del sistema cartesiano. Il dominio della definizione della funzione inversa è l'intervallo di valori della funzione iniziale e l'intervallo di valori a sua volta è il dominio della definizione della funzione data.
istruzione
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Nel caso generale, quando si trova la funzione inversaper un dato y = f (x) esprimere l'argomento x in termini di funzione y. A tal fine, utilizzare le regole per moltiplicare entrambe le parti dell'uguaglianza per lo stesso valore, portando i polinomi delle espressioni, tenendo conto della modifica del segno. Nel semplice caso delle funzioni esponenziali della forma: y = (7 / x) + 11, l'inverso dell'argomento x è elementare: 7 / x = y-11, x = 7 * (y-11). La funzione inversa richiesta ha la forma x = 7 * (y-11).
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Tuttavia, spesso nelle funzioni, è complessopotenza e espressioni logaritmiche, così come funzioni trigonometriche. In questo caso, quando si trova la funzione inversa, è necessario tener conto delle proprietà note di queste espressioni matematiche.
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Se l'argomento x nella funzione originale ègrado, per ottenere la funzione inversa, prendi da questa espressione una radice con lo stesso esponente. Ad esempio, per una data funzione y = 7 + x², l'inverso avrà la forma: f (y) = √y -7.
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Quando si considera una funzione, dove l'argomento xè il grado di un numero costante, applica la definizione del logaritmo. Da ciò ne consegue che per la funzione f (x) = ax saranno f inversa (y) = logay, in cui il logaritmo in base e - in entrambi i casi un numero diverso da zero. Analogamente, considerando la funzione logaritmica originale f (x) = logax, la sua funzione inversa è un'espressione di potenza: f (y) = ay.
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Nel caso particolare di indagare una funzione contenenteil logaritmo naturale di ln x o il decimale lg x, vale a dire. logaritmi ai numeri di base e e 10, rispettivamente, la ricezione della funzione inversa è simile, eccetto che invece della base e viene sostituita numero esponenziale o il numero 10. Ad esempio, f (x) = lg x -> f (y) = 10y e f (x) = ln x -> f (y) = ey.
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Per le funzioni trigonometriche, le seguenti coppie sono inverse l'una con l'altra: - y = cos x -> x = arccos y; - y = sin x -> x = arcsin y; y = tan x -> x = arctan y.
